Родился 19 апреля 1981 г. в г. Сумы в семье дипломата Ивана Кулебы, который в разные годы был послом Украины в Египте, Чехии, Казахстане и Армении.

В 2003 г. с отличием окончил Институт международных отношений Киевского национального университета (КНУ) им. Тараса Шевченко по специальности «международное право».

Кандидат юридических наук. В 2005 г. в КНУ им. Тараса Шевченко защитил диссертацию на тему «Реализация международной правосубъектности Украины путем участия в деятельности международных организаций».

С 2003 г. — на дипломатической службе. Работал в управлении юридического обеспечения МИД Украины, в постоянном представительстве Украины при международных организациях в Вене (Австрия).
В 2010-2012 гг. был первым секретарем, советником, начальником отдела в секретариате министра иностранных дел Константина Грищенко. Занимался вопросами «имиджа Украины за рубежом, международных организаций, отношений с США».
В январе 2013 г., после назначения Грищенко вице-премьер-министром Украины, стал его советником по гуманитарным вопросам. Покинул пост в июне того же года.
После ухода с госслужбы в октябре 2013 г. возглавил Фонд культурной дипломатии UART.
Вернулся в МИД в июне 2014 г., став послом по особым поручениям по вопросам стратегических коммуникаций в ведомстве Павла Климкина. Занимался внедрением в работу МИД «концепции цифровой дипломатии, стратегических коммуникаций, культурной дипломатии и публичной дипломатии».
9 апреля 2016 г. указом Петра Порошенко, президента Украины в 2014-2019 гг., был назначен постоянным представителем Украины при Совете Европы. Уволен с должности 4 сентября 2019 г. в связи с переходом на работу в правительство.
29 августа 2019 г. Верховная рада IX созыва утвердила Дмитрия Кулебу вице-премьер-министром по вопросам европейской и евроатлантической интеграции Украины в составе правительства Алексея Гончарука.
4 марта 2020 г. Рада IX созыва утвердила Дмитрия Кулебу министром иностранных дел Украины в правительстве Дениса Шмыгаля. Его кандидатура была предложена президентом Владимиром Зеленским и поддержана 288 голосами депутатов при 226 необходимых. На посту главы МИД Кулеба сменил Вадима Пристайко, возглавлявшего ведомство с 29 августа 2019 г.

Автор книги «Война за реальность. Как побеждать в мире фейков, правд и сообществ» (2019).

Женат. Имеет двоих детей.